2026-05-18 · 逐點通教研團隊
115 會考數學非選分析
2 大題完整拆解＋答題策略＋常見扣分點
115 數學非選兩大題分量都不輕：非選 1 是等差數列＋不等式應用、非選 2 是相似三角形＋正六邊形＋根式，跨好幾個年級的觀念。本文逐題拆解考點、給你具體的答題步驟與常見扣分點。
一、整體難度評估
| 題 | 難度 | 主要考點 | 跨章節 |
|---|
| 非選 1 · 馬拉松訓練 | 🟦 中等 | 等差數列、一元一次不等式 | 八下 1-1 + 七下 4-2 |
| 非選 2 · Y 字沙發椅地毯 | 🔴 較難 | 相似三角形、30-60-90、正六邊形、根式 | 九上 1-4 + 八下 3-1 + 八下 4-3 |
二、非選 1：馬拉松訓練（雙重等差數列）
題目核心結構
- 第 1 週週一跑 5 圈、每週四比當週週一多 2 圈、下週週一 = 上週週四圈數
- 每圈 400 公尺、距離超過 15 公里就維持不再增加
- 第 1 小題：第 2 週週四訓練幾圈？
- 第 2 小題：最早從第幾週的星期幾開始、當日訓練超過 15 公里？
解題策略
第 1 小題（直接列表）
不需公式、直接列前幾週：W1 一 5、W1 四 7；W2 一 7、W2 四 9。**答案 9 圈**。
第 2 小題（用一般項 + 不等式）
把訓練圈數分成兩條等差數列：
- 第 $n$ 週 週一 = $5 + 2(n-1) = 2n + 3$
- 第 $n$ 週 週四 = $7 + 2(n-1) = 2n + 5$
超過 15 公里 → 圈數 $> 37.5$ → 圈數 $\ge 38$（圈數須為整數）。
解週四：$2n + 5 \ge 38 \Rightarrow n \ge 16.5 \Rightarrow n = 17$。第 17 週週四 $= 39$ 圈 $\approx 15.6$ 公里 ✓
解週一：$2n + 3 \ge 38 \Rightarrow n \ge 17.5 \Rightarrow n = 18$（更晚）。
答案：最早從第 17 週的星期四開始。
非選 1 常見扣分點：
- 混淆「項數」與「週數」—— 訓練日和「第幾週」是兩個不同編號，要分清楚
- 「超過」= 嚴格大於、不含等於。$15 \div 0.4 = 37.5$，所以圈數要 $\ge 38$（取整數）
- 沒列式直接寫答案 → 過程分丟掉
三、非選 2 Y 字沙發椅地毯（相似＋正六邊形）
題目核心結構
- 三個相同五邊形繞中心點 $D$ 對稱拼成 Y 字
- $\overline{AB} = 90$、$\overline{BC} = \overline{AE} = 130$、$\overline{CD} = \overline{DE}$、$\angle A = \angle B = 90°$
- 第 1 小題：求 $\angle CDE$
- 第 2 小題：訂正六邊形地毯（對角線交點與 $D$ 重合、$\overline{AB}$ 與一邊平行且距離 $\ge 50$ 公分），求邊長最少幾公分（以根式呈現）
解題策略
第 1 小題（對稱角度）
三個五邊形繞 $D$ 對稱拼成、剛好填滿 $D$ 周圍 $360°$：
$$3 \times \angle CDE = 360° \Rightarrow \angle CDE = 120°$$
第 2 小題（多步驟、跨概念）
- 認出 $ABCE$ 是矩形：$\angle A = \angle B = 90°$ 且 $\overline{AE} = \overline{BC} = 130$、$\overline{AE} \parallel \overline{BC}$ → 矩形 → $\overline{CE} = \overline{AB} = 90$
- 用 30-60-90 邊比算 $D$ 到 $\overline{CE}$ 距離：$\triangle DCE$ 等腰、$\angle CDE = 120°$，從 $D$ 作 $\overline{CE}$ 中垂線 $\overline{DM}$ → $\triangle DMC$ 是 $\angle DMC = 90°$、$\angle MDC = 60°$、$\angle MCD = 30°$ 的 30-60-90 三角形。
由邊比 $1 : \sqrt{3} : 2$、$\overline{MC} = 45$ → $\overline{DM} = 45 / \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$
- $D$ 到 $\overline{AB}$ 距離 = $\overline{CE}$ 到 $\overline{AB}$ 距離 + $\overline{DM}$ = $130 + 15\sqrt{3}$
- 正六邊形性質：正六邊形對角線交點到對邊距離 $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times$ 邊長 $s$
- 列式：地毯下邊到 $\overline{AB}$ 距離 $\ge 50$ → 地毯下邊到 $D$ 距離 $= (130 + 15\sqrt{3}) + 50 = 180 + 15\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} s = 180 + 15\sqrt{3} \Rightarrow s = \dfrac{360 + 30\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 120\sqrt{3} + 30$
答案：地毯邊長至少 $120\sqrt{3} + 30$ 公分。
非選 2 常見扣分點：
- 沒看出 $ABCE$ 是矩形—— 這個矩形把問題簡化一半，看不出來就會在 $\overline{CE}$ 長度卡關
- 30-60-90 邊比 $1:\sqrt{3}:2$ 記錯 或不會用
- 正六邊形「中心到對邊」距離公式記成 $s$ 或 $\sqrt{3}s$—— 正確是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}s$（半正三角形的高）
- 答案用小數而非根式—— 題目明確要求「以根式呈現」，答案要保留 $120\sqrt{3} + 30$ 形式，不可算成約 $237.85$
- 分母 $\sqrt{3}$ 沒做分母有理化—— 最簡形式不該留 $\frac{a}{\sqrt{3}}$
四、非選答題 5 個通用策略
- 不會就把過程寫一半也有分—— 非選是分段給分。設未知數、列方程式、寫單位、畫圖、解到一半都有部分分。空白才是 0 分。
- 大題分小步驟、每步加一句說明—— 「由 $\angle A = \angle B = 90°$ 得 $ABCE$ 是矩形」這句話寫出來就是 1 分。閱卷老師看你的思路、不是只看答案。
- 單位寫清楚—— 公分、公里、圈、週都要寫。「39 圈」跟「39」差一個單位可能扣 1 分。
- 答案題目怎麼要求就怎麼寫—— 非選 2 (2) 要根式，就用 $120\sqrt{3} + 30$，不要轉成小數。要分數就用分數、要整數就無條件取整。
- 留時間回頭驗算—— 把答案代回題目情境（非選 1 第 17 週週四 39 圈 $\times$ 0.4 公里 = 15.6 公里 $>$ 15 公里 ✓），這 30 秒可能救你 1-2 分。
五、整體觀察
非選 1 偏應用、非選 2 偏推理：非選 1 主要考你「能不能把文字情境轉成數學式子」、非選 2 主要考你「能不能在一張圖裡看出多個觀念怎麼接在一起」。非選 2 對畫圖能力與根式運算的要求都不低，平常練習時不要只挑會的章節做、要練「跨章節題型」才有把握。
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